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特征值和特征向量

通过本文,可以更加好的理解特征值的「物理」意义,以及为什么研究特征值和特征向量。

不变子空间

「算子」是一个向量空间到其自身的线性映射,此映射记为: \(L(V)=L(V,V)\) 。为了更好地理解算子,先定义一下直和分解:

\(T \in L(V)\) ,如果 \(V\) 存在直和分解:

\(V=U_1\bigoplus U_2\bigoplus...\bigoplus U_m\)

其中每一个 \(U_j\) 都是 \(V\) 的「真子空间」,如果我们想要了解 \(T\) 的性质,首先了解一下在每一个子空间的范围内 \(T|_{U_j}\) 的性质是一种不错的方法。 \(T|_{U_j}\) 可能不是 \(U_j\) 的「算子」,也就是不将 \(U_j\) 映射到自身。

那么,接下来问题来了,如果我们已知一个有限维空间 \(V\) ,如何获得在映射 \(T\) 下的不变子空间,这种子空间的个数是不是有限的?下面介绍的特征值和特征向量可以很好的回答这个问题。

1维不变子空间

取任意非零向量 \(u \in V\) ,并设 \(U\) 等于 \(u\) 的标量倍之集: \(U=\left \{a \mathbf{u}| u \in F \right \}\) 。很明显 \(U\) 是维度为1的子空间。

特征值

对于「1维子空间」 \(U\) 来说,如果映射 \(T\)\(U\) 下是不变的,那么对 \(u \in U\) 必有:

\(Tu=\lambda u\)

其中 \(\lambda\) 被称为特征值,可以证明对于一维子空间 \(U\) 来说,此时的 \(\lambda\) 是唯一的一个数。

特征向量

将上面对特征值定义的式子做一下变换可以得到:

\(\begin{matrix} Tu-\lambda u &=& (T-\lambda I)u \\ &=& 0 \\ &=& null \ (T-\lambda I) \end{matrix}\)

所以特征向量不是一个向量,而是一个集合,这个集合可以组成一个「子空间」,既: \(null \ (T- \lambda I)\)

下面两个重要的结论:

  1. 算子的不同特征值的非零特征向量是线性无关的(因为属于不同的子空间)
  2. 算子的互异特征值的个数不会多于向量空间的维数。

参考资料

《线性代数应该这样学》 Axler

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