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线性映射

前文对向量空间进行了各种定义,跟人感觉比较枯燥和不实用。本文的内容开始渐入佳境,有很多有意思的结论。比如为什么矩阵乘法的定义那么奇怪,以及对映射的一些分类。

kernel

上图来源于此处

定义

线性映射在有的教材中也被成为「线性变换」,映射有线性和非线性之分,线性映射是具有下列性质的函数 \(T: V \rightarrow W\) :

  1. 加性:对所有的 \(u,v \in V\) 都有 \(T(u+v)=Tu +Tv\)
  2. 齐性:对所有 \(a\in F,v\in V\) 都有 \(T(av)=a(Tv)\)

从V到W的所有线性映射所构成的集合记为 \(L(V,W)\)

接下来是一些非常有启发的线性映射的「实例」

零映射

零映射的定义就是将V中的每一个元素都可以映射为 \(0\) 的映射,用符号0表示,所以 \(0 \in L(V,W)\) ,定义为:

\(0v = 0\)

很明显「零映射」满足「加性」和「齐性」.

恒等映射

如果映射作用一个向量之后还等于他本身, \(I \in L(V,V)\) ,即:

\(Iv=v\)

多项式微分映射

定义 \(T \in L(P(R),P(R))\) 如下:

\(Tp=p'\)

很明显,多项式的导数还是多项式,并且满足「加性」和「齐性」。

多项式积分映射

这是一个稍微不太严谨的定义,因为一个函数的积分有很多个,看起来是一个「一对多」的映射,如果不考虑积分中的常数项,就可以做到「一对一」的映射。

  • 「加性」:两个函数的和的积分等于这两个函数积分的和;
  • 「齐性」:常数与函数乘积的积分等于常数乘以函数的积分;

「单」映射

如果当 \(u,v\in V, Tu = Tv\) 时,必有 \(u=v\) ,那么称线性映射 \(T: V \rightarrow W\) 为单的,

验证一个映射是单的还有一个方法,就是证明0是唯一一个被映射称0的向量。

「满」映射

如果线性映射的的值域等于W,就称此映射 \(T: V \rightarrow W\) 是满的

映射的过程可以看做是定义域空间的点寻找「归宿」的过程,那么可以将定义域的点分成两部分,就是值为0和非零,为0的部分的维度和非零部分的维度之和等于定义域维度的和,具体可以表示为:

\(dim V = \dim null \ T + \dim range \ T\)

 

*零空间

零空间具有非常重要的性质,对于方程组的求解和深入理解子空间都很有帮助。

定义:对于 \(T\in L(V,W)\) ,V中被T映射成为0的那些向量所组成的子集称为T的「零空间」,记为 \(null \ T\) :

\(null \ T = \left \{ v \in V: Tv=0 \right \}\)

这个定义很简单,针对T为「多项式导数映射」的时候,「零空间」为常函数的集合,因为只有常函数的导数才为0.在此可以发现,可以根据映射的「值域」对原始空间V进行「划分」,例如可以根据「值域」是否为0将V分成两部分,容易证明这两部分可以看做是「在T的作用下的子空间」,因为元素在T的作用下是「加法封闭」和「标量乘法封闭的」

下面是一些关于「零空间」很重要的性质:

  • 零空间和值域向量都是线性无关的,因为如果线性相关就属于一个集合了
  • 零空间的维数加上值域的维数等于定义域的维数
  • 求解方程组可以看做是已知T和「像」求「原像」
  • 零空间和值域都可以通过T一组基表示

 

线性映射的矩阵

初学矩阵乘法的时候很不理解为啥矩阵的乘法定义的如此奇怪,经过下面的介绍将会梳理清楚矩阵乘法的来龙去脉。

\(T \in L(V,W),(v_1,v_2,...,v_n)\) 是V的基, \((w_1,w_2,...,w_m)\) 是W的基,那么对于每一个 \(k=1,...,n, Tv_k\) 都可以唯一写成这些 \(w\) 的线性组合:

\(Tv_k = a_{1,k} w_1+...+a_{m,k}w_m\)

其中 \(a_{j,k}\) 可通过两组基唯一确认,其组成的矩阵就可以代表这个映射T,可以记为:

\(M(T,(v_1,...,v_n),(w_1,...,w_m))\)

为了方便,经常简写为 \(M(T)\) .

接下来考虑下面一种场景:

\((v_1,...,v_n)\)\(V\) 的基, \((w_1,...,w_m)\)\(W\) 的一组基, \((u_1,...,u_p)\)\(U\) 的基,考虑线性映射 \(S: U \rightarrow V\)\(T: V \rightarrow W\) ,他们的复合映射 \(TS\) ,是从 \(U\)\(W\) 的线性映射。如何通过 \(M(T)\)\(M(S)\) 计算 \(M(TS)\) ?这个问题的最佳答案是下面漂亮的关系:

\(M(TS)=M(T)M(S)\)

上面的结论的证明我这里就不推导了。

参考资料

《线性代数应该这样学》 Axler

 

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