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向量空间

线性代数的研究对象是在「限维度」的空间的「线性映射」.

向量空间定义

向量空间(vector space)就是带有「加法」和「标量乘法」的集合V,使得下面性质成立:

  1. 交换性:对所有的 \(u,v \in V\) ,都有 \(u+v=v+u\) ;
  2. 结合性:对所有的 \(u,v \in V, \ a,b \in F\) 都有 \((u+v)+w=u+(v+w), (ab)v = a(bv)\)
  3. 加法单元:存在一个元素 \(0 \in V\) 使得对所有的 \(v \in V\) 都偶有 \(v + 0 = v\)
  4. 加法逆:对每一个 \(v \in V\) 都存在一个 \(w \in V\) 使得 \(v+w=0\)
  5. 乘法单元:对所有的 \(v \in V\) 都有 \(1\cdot v = v\)
  6. 分配性质:对所有的 \(u,v \in V, \ a,b \in F\) 都有 \(a(u+v)=au+av,(a+b)u=au+bu\)

多项式系数空间

对于一个最高次数为 \(m\) 的多项式,其系数可以组成一个维度为 \(m+1\) 的向量空间,记为 \(\rho_m(F)\) 。多项式的一般格式为:

\(p(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+...+a_m z^m\)

子空间

理解「子空间」对理解线性代数很重要,特别是对子空间的「封闭性」的理解。

V的子集U称为V的「子空间」,同时U还要满足下面性质:

  1. 加法单元: \(0 \in U\)
  2. 对加法封闭:若 \(u,v \in U\) ,则 \(u+v \in U\)
  3. 对标量乘法封闭:若 \(a\in F,u\in U\) ,则 \(au \in U\)

空间的和

如果 \(U_1,U_2,...U_m\) 都是 \(V\) 的子空间,那么他们的和定义为:

\(U_1+U_2+...+U_m=\left \{ u_1+u_2+...u_m| u_1 \in U_1,u_2 \in U_2,...,u_m \in U_m \right\}\)

可以发现,「空间的和」就是子空间任何所有元素相加后的集合,并且可以验证子空间的和也是V的子空间。

空间的直和

「直和」是「和」的一种特列,是对子空间「之间」关系的修饰。操作方式也是元素相加,只不过各个「子空间」之间各个非零向量都是「线性无关」的。

如果V中的每一个元素都可以唯一的写成 \(u_1+u_2+...+u_m\) 其中 \(u_j\in U_j\) ,则称V是子空间 \(U_1,U_2,...,U_m\) 的直和,记为: \(V=U_1\bigoplus U_2 \bigoplus ...U_m\)

 

张成

张成定义为:

\(span(v_1,v_2,...,v_m)=\left \{ a_1v_1 + a_2 v_2 +...+a_m v_m : a_j \in F \right \}\)

可以发现,「张成」其实就是寻找一组向量,然后其所有可能的线性组合表示的空间。 可以想象出来,此空间是V的「子空间」。

若V中一个向量组既是「线性无关」的又「张成」V,则将其称之为V的「基」。

维数

空间的维数使用 \(\dim V\) 表示,维数等于基的长度,其实就是空间V任何一组基中向量的个数。可以证明V的所有基的长度都是相等的。容易想象 \(\dim \rho_m(F) = m + 1\) .

参考资料

《线性代数应该这样学》 Axler

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