线性映射

前文对向量空间进行了各种定义，跟人感觉比较枯燥和不实用。本文的内容开始渐入佳境，有很多有意思的结论。比如为什么矩阵乘法的定义那么奇怪，以及对映射的一些分类。

上图来源于此处

定义

线性映射在有的教材中也被成为「线性变换」，映射有线性和非线性之分，线性映射是具有下列性质的函数 $T: V \rightarrow W$ :

1. 加性：对所有的 $u,v \in V$ 都有 $T(u+v)=Tu +Tv$
2. 齐性：对所有 $a\in F,v\in V$ 都有 $T(av)=a(Tv)$

从V到W的所有线性映射所构成的集合记为 $L(V,W)$ 。

接下来是一些非常有启发的线性映射的「实例」

零映射

零映射的定义就是将V中的每一个元素都可以映射为 $0$ 的映射，用符号0表示，所以 $0 \in L(V,W)$ ，定义为：

$0v = 0$

很明显「零映射」满足「加性」和「齐性」.

恒等映射

如果映射作用一个向量之后还等于他本身， $I \in L(V,V)$ ，即：

$Iv=v$

多项式微分映射

定义 $T \in L(P(R),P(R))$ 如下：

$Tp=p'$

很明显，多项式的导数还是多项式，并且满足「加性」和「齐性」。

多项式积分映射

这是一个稍微不太严谨的定义，因为一个函数的积分有很多个，看起来是一个「一对多」的映射，如果不考虑积分中的常数项，就可以做到「一对一」的映射。

• 「加性」：两个函数的和的积分等于这两个函数积分的和；
• 「齐性」：常数与函数乘积的积分等于常数乘以函数的积分；

「单」映射

如果当 $u,v\in V, Tu = Tv$ 时，必有 $u=v$ ，那么称线性映射 $T: V \rightarrow W$ 为单的，

验证一个映射是单的还有一个方法，就是证明0是唯一一个被映射称0的向量。

「满」映射

如果线性映射的的值域等于W，就称此映射 $T: V \rightarrow W$ 是满的

映射的过程可以看做是定义域空间的点寻找「归宿」的过程，那么可以将定义域的点分成两部分，就是值为0和非零，为0的部分的维度和非零部分的维度之和等于定义域维度的和，具体可以表示为：

$dim V = \dim null \ T + \dim range \ T$

*零空间

零空间具有非常重要的性质，对于方程组的求解和深入理解子空间都很有帮助。

定义：对于 $T\in L(V,W)$ ，V中被T映射成为0的那些向量所组成的子集称为T的「零空间」，记为 $null \ T$ :

$null \ T = \left \{ v \in V: Tv=0 \right \}$

这个定义很简单，针对T为「多项式导数映射」的时候，「零空间」为常函数的集合，因为只有常函数的导数才为0.在此可以发现，可以根据映射的「值域」对原始空间V进行「划分」，例如可以根据「值域」是否为0将V分成两部分，容易证明这两部分可以看做是「在T的作用下的子空间」，因为元素在T的作用下是「加法封闭」和「标量乘法封闭的」。

下面是一些关于「零空间」很重要的性质：

• 零空间和值域向量都是线性无关的，因为如果线性相关就属于一个集合了
• 零空间的维数加上值域的维数等于定义域的维数
• 求解方程组可以看做是已知T和「像」求「原像」
• 零空间和值域都可以通过T一组基表示

线性映射的矩阵

初学矩阵乘法的时候很不理解为啥矩阵的乘法定义的如此奇怪，经过下面的介绍将会梳理清楚矩阵乘法的来龙去脉。

设 $T \in L(V,W),(v_1,v_2,...,v_n)$ 是V的基， $(w_1,w_2,...,w_m)$ 是W的基，那么对于每一个 $k=1,...,n, Tv_k$ 都可以唯一写成这些 $w$ 的线性组合：

$Tv_k = a_{1,k} w_1+...+a_{m,k}w_m$

其中 $a_{j,k}$ 可通过两组基唯一确认，其组成的矩阵就可以代表这个映射T，可以记为：

$M(T,(v_1,...,v_n),(w_1,...,w_m))$

为了方便，经常简写为 $M(T)$ .

接下来考虑下面一种场景：

设 $(v_1,...,v_n)$ 是 $V$ 的基， $(w_1,...,w_m)$ 是 $W$ 的一组基， $(u_1,...,u_p)$ 是 $U$ 的基，考虑线性映射 $S: U \rightarrow V$ 和 $T: V \rightarrow W$ ，他们的复合映射 $TS$ ，是从 $U$ 到 $W$ 的线性映射。如何通过 $M(T)$ 和 $M(S)$ 计算 $M(TS)$ ？这个问题的最佳答案是下面漂亮的关系：

$M(TS)=M(T)M(S)$

上面的结论的证明我这里就不推导了。

参考资料

《线性代数应该这样学》 Axler

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